![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
skittishfoxМені здається, що більшість з нас пам'ятає, що "дивна" кількість градусів у колі - це спадщина давньовавілонської математики, з її 60їчною системою запису чисел. Іноді також можна почути голоса про те, що така розрядність - це великий плюс, бо 60 ділеться на 2, 3, 4, 5 та 6, тобто замість "корявого" запису у 0.33333(3), ми матимемо красиве 60-річне .(20), тобто 20/60.
Але мало хто знає, до якого жаху це призводить на практиці.
Почнемо з основ: таблиця множення, яка в 10-чній системі запам'ятовується майже усіма, у 60-їчній системі перетворюється на монстра в 3600 значень, усі з яких пересічній людині запам'ятати не легше, ніж вивчити китайську. Тому самі вавілонці її не вчать, а мають таблиці приблизно наступного вигляду: для умовного (20) існує окрема таблиця, що містить рядки множення на (1), (2), ... , (10), (20), (30), (40) та (50). Схожа таблиця існує і для (3). Для того, щоб помножити (23)*(57), ми переписуємо це як ( (20)+(3) )*( (50)+(7) ), розгортаємо як (20)*(50) + (20)*(7) + (3)*(50) + (3)*(7), дивимося проміжні значення в таблиці та сумуємо чотири числа.
Тепер уявіть, як це виглядає при множенні в стовпчик багаторозрядних чисел, якщо ви не можете швидко помножити в умі розряд та перенести десятки. Візьмемо умовне 1234, або (20)(34) в 60їчній системі, та спробуємо помножити його на 5: замість відносно простого 6170 в стовпчик ми так само мусимо розгортати (34)*(5) в (30)*(5) + (4)*5, шукати значення, складати - тобто робити дуже нетривіальні дії. Більш того, оскільки усі ці дії потрібні для кожного розряду, то задача перемноження багатозначних чисел швидко стає дуже нетривіальною лише через те, що ми не тримаємо усю таблицю множення в пам'яті, та починає містити набагато більше дій, де можна припустити помилку, особливо якщо згадати, що у вавілонській математиці певний час не було нуля, тобто писцю треба було пам'ятати, де він писав (20)(34), де - (20)(34)(0), а де взагалі (20)(0)(34).
Найгірше починається з діленням: у стандартному діленні в стовпчик ми неявно спираємося на нашу можливість швидко в умі помножити число на значення від 1 до 9; це дозволяє нам швидко підібрати наступний розряд в результаті ділення та ділити за відносно розумний час навіть довгі числа. У Вавілоні подібне було неможливе, бо й мови не могло йти про швидке множення в умі чисел в діапазоні (1)-(59); через це замість "нормального" ділення навіть на відносно прості числа в вавілонян вживалося множення на обратні числа: тобто, замість того, щоб поділити на (2), ми множимо на (30) (тобто 30/60 = 1/2) та зміщуємо результат на розряд (знов таки, якщо не забуваємо); такі "зворотні множники" існували в окремих таблицях. Проблема в тому, що зворотніх множників було відомо дуже небагато, а методи для ділення, що використовували вавілоняне, могли давати неточний результат навіть за наявності точного, та могли вимогати розв'язування квадратних рівнянь для ділення для отримання таких результатів.
Нащо я це кажу? А далі побачете.
Але мало хто знає, до якого жаху це призводить на практиці.
Почнемо з основ: таблиця множення, яка в 10-чній системі запам'ятовується майже усіма, у 60-їчній системі перетворюється на монстра в 3600 значень, усі з яких пересічній людині запам'ятати не легше, ніж вивчити китайську. Тому самі вавілонці її не вчать, а мають таблиці приблизно наступного вигляду: для умовного (20) існує окрема таблиця, що містить рядки множення на (1), (2), ... , (10), (20), (30), (40) та (50). Схожа таблиця існує і для (3). Для того, щоб помножити (23)*(57), ми переписуємо це як ( (20)+(3) )*( (50)+(7) ), розгортаємо як (20)*(50) + (20)*(7) + (3)*(50) + (3)*(7), дивимося проміжні значення в таблиці та сумуємо чотири числа.
Тепер уявіть, як це виглядає при множенні в стовпчик багаторозрядних чисел, якщо ви не можете швидко помножити в умі розряд та перенести десятки. Візьмемо умовне 1234, або (20)(34) в 60їчній системі, та спробуємо помножити його на 5: замість відносно простого 6170 в стовпчик ми так само мусимо розгортати (34)*(5) в (30)*(5) + (4)*5, шукати значення, складати - тобто робити дуже нетривіальні дії. Більш того, оскільки усі ці дії потрібні для кожного розряду, то задача перемноження багатозначних чисел швидко стає дуже нетривіальною лише через те, що ми не тримаємо усю таблицю множення в пам'яті, та починає містити набагато більше дій, де можна припустити помилку, особливо якщо згадати, що у вавілонській математиці певний час не було нуля, тобто писцю треба було пам'ятати, де він писав (20)(34), де - (20)(34)(0), а де взагалі (20)(0)(34).
Найгірше починається з діленням: у стандартному діленні в стовпчик ми неявно спираємося на нашу можливість швидко в умі помножити число на значення від 1 до 9; це дозволяє нам швидко підібрати наступний розряд в результаті ділення та ділити за відносно розумний час навіть довгі числа. У Вавілоні подібне було неможливе, бо й мови не могло йти про швидке множення в умі чисел в діапазоні (1)-(59); через це замість "нормального" ділення навіть на відносно прості числа в вавілонян вживалося множення на обратні числа: тобто, замість того, щоб поділити на (2), ми множимо на (30) (тобто 30/60 = 1/2) та зміщуємо результат на розряд (знов таки, якщо не забуваємо); такі "зворотні множники" існували в окремих таблицях. Проблема в тому, що зворотніх множників було відомо дуже небагато, а методи для ділення, що використовували вавілоняне, могли давати неточний результат навіть за наявності точного, та могли вимогати розв'язування квадратних рівнянь для ділення для отримання таких результатів.
Нащо я це кажу? А далі побачете.
no subject
Date: 2018-09-04 05:57 pm (UTC)Групування, мабуть, все одно виконувалося за дрібнішими розрядниками із додаванням і, можливо, множенням?
no subject
Date: 2018-09-05 11:54 am (UTC)